Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHBài 1: các khái niệm cơ bạn dạng về hệ phương trình tuyến đường tính1. Định nghĩa:

Hệ phương trình dạng

Trong đó

*
là những ẩn với
*
là các hằng số, được gọi là hệ phương trình tuyến đường tính m phương trình, n ẩn.

Ma trận

*
được điện thoại tư vấn là ma trận những hệ số của hệ (1).

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình tuyến tính

Ma trận

*
là ma trận những hệ số không ngừng mở rộng của hệ (1). 2. Thừa nhận xét: Một hệ phương trình hoàn toàn xác định giả dụ ta hiểu rằng ma trận hệ số mở rộng của nó.

Cột

*
được điện thoại tư vấn là cột tự do của hệ (1).

Hệ (1) hoàn toàn có thể được viết lại dưới dạng

*
với A là ma trận các hệ số của hệ (1).

Khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp cho trên những dòng của hệ phương trình đường tính thì ta được một hệ mới tương đương với hệ vẫn cho.

Ta nói

*
là một nghiệm của hệ (1) nếu khi thay
*
thì tất cả các phương trình trong hệ (1) những thỏa mãn.

Nếu

*
*
thì hệ phương trình có thể viết được bên dưới dạng: AX = B.

3. Ví dụ:

Hệ phương trình là một hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn bên trên

*
.

Hệ phương trình này còn hoàn toàn có thể được viết bên dưới dạng

*
hoặc
*

Trong kia

*
là một nghiệm của hệ phương trình trên.

4. Một vài hệ phương trình sệt biệt:
4.1 Hệ Cramer:

Hệ phương trình tuyến tính (1) được call là hệ Cramer ví như m = n (tức là số phương trình ngay số ẩn) cùng ma trận những hệ số A không suy đổi mới (hay

*
.

Ví dụ:

Hệ phương trình

*
là hệ Cramer.

4.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Nếu cột tự do thoải mái của hệ bởi 0 (tức là

*
) thì hệ phương trình đường tính (1) được điện thoại tư vấn là hệ phương trình con đường tính thuần nhất.

Hệ này được hotline là hệ link với hệ phương trình (1).4.3 nhấn xét: Hệ phương trình đường tính thuần nhất luôn luôn có ít nhất 1 nghiệm là

*
cùng nghiệm này được gọi là nghiệm bình bình của hệ. 5. Định lý: Đối với cùng một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có một trong ba trường vừa lòng nghiệm xẩy ra là: tất cả một nghiệm duy nhất;Vô nghiệm;Có rất nhiều nghiệm. 6. Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần tuyệt nhất hoặc chỉ bao gồm nghiệm bình thường hoặc tất cả vô số nghiệm. 7. Định nghĩa: Hai hệ phương trình có cùng số ẩn được gọi là tương đương nhau trường hợp chúng bao gồm cùng tập vừa lòng nghiệm. 8. Định lý: nếu như hai hệ phương trình tất cả hai ma trận hệ số không ngừng mở rộng tương ứng tương tự dòng cùng nhau thì chúng tương tự nhau. Hoặc rất có thể phát biểu lại như sau: Cho nhì hệ có m phương trình tuyến đường tính n ẩn trên K tất cả dạng ma trận hóa lần lượt là
*
với
*
. Khi ấy nếu
*
thì nhì hệ phương trình tương đương nhau. 9. Dấn xét:

Ta hoàn toàn có thể sử dụng các phép đổi khác sơ cung cấp trên mẫu một giải pháp tùy ý so với ma trận hóa của một hệ phương trình tuyến đường tính để lấy nó về dạng một hệ phương trình con đường tính đơn giản hơn.

10. Ví dụ: Để giải hệ phương trình ta tiến hành ma trận hóa cùng sử dụng các phép đổi khác sơ cấp trên dòng để mang ma trận hóa về dạng đối kháng giản.
*

Vậy hệ đã cho tương tự với

*

7. Định lý:
mang sử là 1 trong nghiệm mang lại trước của hệ phương trình (1). Lúc đó
*
là một nghiệm của hệ (1) khi và chỉ còn khi
*
, với v là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ (1).Nói bí quyết khác ví như
*
là những nghiệm của hệ phương trình đường tính thuần nhất link thì ta hoàn toàn có thể viết nghiệm của hệ phương trình tuyến đường tính (1) là
*
trong số đó
*
8. Định nghĩa:
Một nghiệm thắt chặt và cố định của hệ phương trình con đường tính (1) được gọi là nghiệm riêng, còn nghiệm
*
được gọi là nghiệm tổng thể của hệ.

Ví dụ:

Xét hệ phương trình sau:
*
(1)

Nhận xét hệ 1 có một nghiệm là

*

Xét hệ phương trình thuần nhất link với hệ (1).

*

Hệ thuần nhất này có các nghiệm là

*
.

Khi kia nghiệm bao quát của hệ phương trình ban sơ là

*
Bài 2: Các phương pháp giải hệ phương trình đường tính
_______________________________________________________1. Cách thức Cramer:

Nội dung của phương pháp này cũng đó là định lý sau:

1.1 Định lý: Cho hệ Cramer
*
trong những số đó
*
là ma trận các hệ số. Lúc đó, trường hợp
*
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất xác minh bởi bí quyết sau:
*
, trong các số đó
*
chính là ma trận nhận được ma trận A bằng phương pháp thay cột i do cột thông số tự vì
*
giả dụ detA = 0 cùng tồn tại
*
sao cho
*
thì hệ phương trình vô nghiệmNếu detA = 0 với
*
thì hệ phương trình không tồn tại nghiệm tuyệt nhất (nghĩa là vô nghiệm hoặc rất nhiều nghiệm). Nếu xảy ra trường phù hợp này thì ta đang dùng phương thức Gauss (được nêu vào phần tiếp theo) nhằm giải hệ phương trình này. 1.2 Hệ quả:
Hệ phương trình tuyến đường tính thuần duy nhất n phương trình n ẩn gồm nghiệm không đều đều khi và chỉ khi định thức của ma trận những hệ số bởi 0.Nhận xét: Phương pháp này dùng để làm giải hệ phương trình bao gồm số phương trình ngay số ẩn. 1.3 các ví dụ:Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
*
với a, b, c là các số không giống 0.Giải:

Ta tất cả

*
nên đấy là hệ Cramer. Không dừng lại ở đó

*
*
*

Do đó, hệ tất cả nghiệm duy nhất

*
;
*
;
*
■Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
*
Giải:

Ta bao gồm |A|=0 cùng

*
nên hệ phương trình vô nghiệm. ■

Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình sau:

*

Ta có

*

Hệ phương trình không tồn tại nghiệm duy nhất có nghĩa là hệ gồm vô số nghiệm hoặc hệ vô nghiệm.

Đối với trường hợp này thì đề nghị dùng phương thức Gauss để giải lại hệ phương trình trên. 2. Cách thức Gauss: 2.1 Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình con đường tính tổng quátA và lần lượt là các ma trận hệ số và ma trận thông số mở rộng. Khi đó:i) ví như

*
thì hệ (1) vô nghiệm;ii) nếu như
*
thì hệ (1) gồm nghiệm. Rộng nữa: ví như r = n thì hệ (1) bao gồm nghiệm duy nhất.Nếu r 2.2 Thuật toán sau để giải hệ phương trình con đường tính (gọi là thuật toán Gauss):

Lập ma trận những hệ số không ngừng mở rộng . Bằng các phép biến đổi sơ cấp cho trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang. đưa sử ma trận bậc thang cuối cùng có dạng:

*

Hệ phương trình khớp ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Vì đó:

nếu tồn tại tối thiểu
*
với
*
khác 0 thì hệ vô nghiệm.Nếu
*
thì hệ tất cả nghiệm. Khi đó các cột
*
(là những cột được ghi lại * ) được duy trì lại bên trái và các
*
là các ẩn, còn những cột còn sót lại thì được gửi sang bên phải, các ẩn tương ứng với những cột này sẽ biến hóa tham số. Vậy ta sẽ có được n – r tham số với hệ sẽ cho khớp ứng với hệ
*

Trong kia

*
là các hàm con đường tính của với
*
. Hệ phương trình (3) là hệ phương trình dạng tam giác ta hoàn toàn có thể dễ dàng giải được bằng phương pháp thế dần dần từ dưới lên, tức là tính lần lượt
*
.

Chú ý:
giả dụ trong quá trình đổi khác xuất hiện 1 cái mà mặt trái bằng 0 còn bên đề xuất là số khác 0 thì ta rất có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm với không cần làm gì tiếp.

Xem thêm: Gia Đình Đông Con Ở Hollywood, Tổng Hợp Hình Ảnh Gia Đình Đẹp Nhất

Nhận xét: Nếu ma trận thu được sau cuối trong thuật toán Gauss có dạng A’|B’ thì A’ được điện thoại tư vấn là ma trận rút gọn theo mẫu từng bậc hay dễ dàng là ma trận rút gọn, ký hiệu .

Khi đó hạng của ma trận A bởi hạng của .

2.3 những ví dụ:

a) Giải hệ phương trình sau:

*
Giải:

*
nên ta quan yếu dùng phương pháp Cramer nhằm giải hệ phương trình này.

Ta đang áp dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình trên.

Ta viết hệ dưới dạng ma trận hóa như sau:

*

Vậy hệ phương trình (*) có vô số nghiệm phụ thuộc vào vào tham số

*
.

*
■Chú ý:

- lúc hệ phương trình tất cả vô số nghiệm thì mặc dù giải bằng phương thức nào ta cũng rất có thể có nhều bí quyết chọn đổi mới tự do.

- lúc giải hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất, ta có không ít cách chọn hệ nghiệm cơ bản.

b) Giải hệ phương trình

*

Giải:

Ta triển khai giải bằng thuật toán Gauss như sau:

*

Vậy hệ phương trình đầu tương đương với hệ:

*

Do đó nghiệm của hệ là .

Sinh viên rất có thể tham khảo them thuật toán Gauss Jordan trong những tài liệu viết về đại số tuyến tính.

Thực chất của thuật toán Gauss Jordan thì ta sẽ tiến hành các phép biến đổi trên dòng đối với ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận gồm các đặc điểm sau:

- các dòng khác 0 thì ở trên những dòng 0;

- hệ số khác 0 thứ nhất ở những dòng không giống 0 đều bởi 1.

- Các phần tử còn lại của cột cất số 1 chuẩn (gọi là cột chuẩn) đều bởi 0. Ví dụ: Ta hoàn toàn có thể dùng thuật toán Gauss Jordan để giải lại hệ phương trình trên:

*

Vậy nghiệm của hệ là .■

Ví dụ: Giải hệ phương trình cùng với ma trận hệ số mở rộng là
*
Giải

Thực hiện các phép chuyển đổi sơ cung cấp trên dòng đưa ma trận về dạng bậc thang.

*

Các thành phần trên đường chéo cánh 1; 1; -1; 1 được điện thoại tư vấn là bộ phận đánh dấu. Ta vẫn khử các bộ phận còn lại của các phần tử ở các cột chứa thành phần đánh lốt ngược từ chiếc 4 lên chiếc 1 và để được ma trận mặt vế trái là ma trận đối chọi vị.

*

Khi kia nghiệm của hệ phương trình là

*

3. Giải cùng biện luận một hệ phương trình đường tính tổng quát:
Các ví dụ:

a) Giải hệ phương trình sau:

*
Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của hệ phương trình trên là

*

Nếu

*
thì hệ phương trình vô nghiệm.

Nếu m = 5 thì hệ phương trình biến chuyển

*

Vậy hệ phương trình bao gồm vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số

*
với
*

*
. Từ kia suy ra,
*
■b) Giải hệ phương trình
*
Giải:

Ta viết hệ trên dưới dạng ma trận hóa như sau:

*

*
nên:

Nếu m = 1 thì ma trận hệ số không ngừng mở rộng trên gồm dạng

*

Khi kia hệ gồm vô số nghiệm phụ thuộc vào 3 thông số

*
. Có nghĩa là
*

Đặt

*
thì
*

Khi m =-3 thì hệ biến hóa

*
. Hệ phương trình vô nghiệm.

Khi thì hệ pt gồm nghiệm duy nhất

*
Kết luận:

- ví như m = 1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

- ví như m = -3 thì hệ vô nghiệm.

- trường hợp

*
thì hệ có một nghiệm độc nhất vô nhị
*
.■

4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp:Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau bằng phương thức thích hợp:

*

Cộng theo vế 4 hướng trình ta được:

*
(*)

Lấy (*) trừ đến phương trình thiết bị (1) của hệ được:

*

Lấy (*) trừ mang lại phương trình sản phẩm (2) của hệ được:

*

Lấy (*) trừ mang lại phương trình sản phẩm công nghệ (3) của hệ được:

*

Thực hiện giống như lấy (*) trừ mang lại phương trình đồ vật (4) của hệ được:

*
Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình sau:

*

Giải

Cách 1: SV tự giải bằng phương thức Gauss (hoặc Gauss Jordan).

Cách 2: Cộng tất cả các phương trình ta được:

*
(*)

Nhận xét:

Khi m = - 3 thì phương trình (*) vô nghiệm, hệ vô nghiệm

Khi m = 1 hệ bao gồm vô số nghiệm.

*
với
*

Khi thì chia biểu thức (*) đến m + 3 ta có

*

Lấy kết quả trên trừ đi phương trình đầu tiên của hệ ta được:

*

Thực hiện tương tự như ta được

*

Tóm tắt chương

Ở chương này, trải qua việc vận dụng những kiến thức về định thức cùng ma trận ta phân tích thêm các cách thức để giải một hệ phương trình đường tính tổng quát.

Sau lúc học chấm dứt chương này, sv cần trả lời được các thắc mắc sau:

1. Hệ phương trình đường tính có những yếu tố gì cần phải biết để giải? Nghiệm của hệ được xác định ra sao? khi nào thì hai hệ phương trình tương đương? Đặc điểm của hệ Cramer là gì? cố nào là hệ phương trình con đường tính thuần nhất?

2. Phương thức Gauss để giải hệ phương trình con đường tính tương tự với nội dung nào đã học làm việc chương trước? Trình bày cách thức Gauss? Sinh viên có thể nghiên cứu thêm cách thức Gauss Jordan? Sự kiểu như nhau và khác nhau của phương thức Gauss và phương pháp Gauss Jordan?

3. Điều kiện quan trọng để có thể giải được hệ phương trình bằng phương pháp Cramer? Trình bày cách thức Cramer?

BÀI TẬP

1) Giải những hệ phương trình sau bằng phương pháp áp dụng thuật toán Cramer và phương pháp Gauss:

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*
f)
*

g)

*
h)
*

k)

*
l)
*
với a, b, c, d là các số thực khác 0.

m)

*
với a, b, c, d, p, q, r, s là các số thực khác 0.

n)

*

2. Giải những hệ phương trình con đường tính thuần nhất tương ứng với các hệ đã đến ở bài tập 1 (tức là cầm cố cột hệ số tự do bởi cột chứa các số 0) rồi giải lại các hệ phương trình đó.

3. Giải và biện luận những hệ phương trình sau:

a)

*
b)
*
c)
*

d)

*
e)
*
f)
*

g)

*
h)
*

k)

*
l)
*

m)

*
n)
*

o)

*
p)
*
q)
*

4. đến

*
là các số nguyên. Giải hệ phương trình sau:

*

5. Giải hệ phương trình

*

6. Chứng minh rằng hệ phương trình sau

*
trong số đó
*
cùng n lẻ, có nghiệm không giống 0.

7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp: